С центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Определение
Синус (sin α)
- это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.
Принятые обозначения
;
;
.
;
;
.
График функции синус, y = sin x
График функции косинус, y = cos x
Свойства синуса и косинуса
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .
Четность
Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).
| y = sin x | y = cos x | |
| Область определения и непрерывность | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Область значений | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Возрастание | ||
| Убывание | ||
| Максимумы, y = 1 | ||
| Минимумы, y = -1 | ||
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основные формулы
Сумма квадратов синуса и косинуса
Формулы синуса и косинуса от суммы и разности
;
;
Формулы произведения синусов и косинусов
Формулы суммы и разности
Выражение синуса через косинус
;
;
;
.
Выражение косинуса через синус
;
;
;
.
Выражение через тангенс
; .
При ,
имеем:
;
.
При :
;
.
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента. 
Выражения через комплексные переменные
;
Формула Эйлера
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; . Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:
{ -∞ <
x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.
Арксинус, arcsin
Арккосинус, arccos
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Мы знаем, что значения косинуса заключены в промежутке [-1; 1], т.е. -1 ≤ cos α ≤ 1. Поэтому если |а| > 1, то уравнение cos x = а не имеет корней. Например, уравнение cos x = -1,5 корней не имеет.
Рассмотрим несколько задач.
Решить уравнение cos x = 1/2.
Решение.
Вспомним, что cos x – это абсцисса точки окружности с радиусом, равным 1, полученной в результате поворота точки Р (1; 0) на угол х вокруг начала координат.
Абсцисса 1/2 есть у двух точек окружности М 1 и М 2 . Так как 1/2 = cos π/3, то точку М 1 мы можем получить из точки Р (1; 0) путем поворота на угол х 1 = π/3, а также на углы х = π/3 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …
Точка М 2 получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол х 2 = -π/3, а также на углы -π/3 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …
Итак, все корни уравнения cos x = 1/2 можно найти по формулам
х = π/3 + 2πk
х = -π/3 + 2πk,
Две представленные формулы можно объединить в одну:
х = +/-π/3 + 2πk, k € Z.
Решить уравнение cos x = -1/2 .
Решение.
Абсциссу, равную – 1/2 , имеют две точки окружности М 1 и М 2 . Так как -1/2 = cos 2π/3, то угол х 1 = 2π/3, а потому угол х 2 = -2π/3.
Следовательно, все корни уравнения cos x = -1/2 можно найти по формуле: х = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.
Таким образом, каждое из уравнений cos x = 1/2 и cos x = -1/2 имеет бесконечное множество корней. На отрезке 0 ≤ х ≤ π каждое из этих уравнений имеет только один корень: х 1 = π/3 – корень уравнения cos x = 1/2 и х 1 = 2π/3 – корень уравнения cos x = -1/2.
Число π/3 называют арккосинусом числа 1/2 и записывают: arccos 1/2 = π/3, а число 2π/3 – арккосинусом числа (-1/2) и записывают: arccos (-1/2) = 2π/3.
Вообще уравнение cos x = а, где -1 ≤ а ≤ 1, имеет на отрезке 0 ≤ х ≤ π только один корень. Если а ≥ 0, то корень заключен в промежутке ; если а < 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.
Таким образом, арккосинусом числа а € [-1; 1 ] называется такое число а € , косинус которого равен а:
arccos а = α, если cos α = а и 0 ≤ а ≤ π (1).
Например, arccos √3/2 = π/6, так как cos π/6 = √3/2 и 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, так как cos 5π/6 = -√3/2 и 0 ≤ 5π/6 ≤ π.
Аналогично тому, как это сделано в процессе решения задач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения cos x = а, где |а| ≤ 1, выражаются формулой
х = +/-arccos а + 2 πn, n € Z (2).
Решить уравнение cos x = -0,75.
Решение.
По формуле (2) находим, х = +/-arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.
Значение arcos (-0,75) можно приближенно найти на рисунке, измерив угол при помощи транспортира. Приближенные значения арккосинуса также можно находить с помощью специальных таблиц (таблицы Брадиса) или микрокалькулятора. Например, значение arccos (-0,75) можно вычислить на микрокалькуляторе, получив приблизительное значение 2,4188583. Итак, arccos (-0,75) ≈ 2,42. Следовательно, arccos (-0,75) ≈ 139°.
Ответ: arccos (-0,75) ≈ 139°.
Решить уравнение (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.
Решение.
1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, х = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.
2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2х = +/-2π/3 + 2 πn, х = +/-π/3 + πn, n € Z.
Ответ. х = +/-arcos 1/4 + 2 πn, х = +/-π/3 + πn.
Можно доказать, что для любого а € [-1; 1] справедлива формула arccos (-а) = π – arccos а (3).
Эта формула позволяет выражать значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел. Например:
arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;
arccos (-√2/2) = π – arсcos √2/2 = π – π/4 = 3π/4
из формулы (2) следует, что корни уравнения, cos x = а при а = 0, а = 1 и а = -1 можно находить по более простым формулам:
cos х = 0 х = π/2 + πn, n € Z (4)
cos х = 1 х = 2πn, n € Z (5)
cos х = -1 х = π + 2πn, n € Z (6).
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Уравнение cos х = а
Каждый корень уравнения
cos х = а (1)
можно рассматривать как абсциссу некоторой точки пересечения синусоиды у = cos х с прямой у = а , и, наоборот, абсцисса каждой такой точки пересечения является одним из корней уравнения (1).Таким образом, множество всех корней уравнения (1) совпадает с множеством абсцисс всех точек пересечения косинусоиды у = cos х с прямой у = а .
Если | а | >1 , то косинусоида у = cos х не пересекается с прямой у = а .
В этом случае уравнение (1) не имеет корней.
При |а | < 1 получается бесконечно много точек пересечения.
для а > 0
для а < 0.
Все эти точки пересечения мы разобьем на две группы:
A -2 , A - 1 , A 1 , A 2 , ... ,
B -2 , B - 1 , B 1 , B 2 , ... ,
Точка А имеет абсциссу arccos а , а все остальные точки первой группы отстоят от нее на расстояния, кратные 2π
arccos a + 2kπ . (2)
Точка В , как легко понять из рисунков, имеет абсциссу - arccos а , а все остальные точки второй группы удалены от нее на расстояния, кратные 2π . Поэтому их абсциссы выражаются как
arccos а + 2n π . (3)
Таким образом, уравнение (1) имеет две группы корней, определяемых формулами (2) и (3). Hо эти две формулы можно, очевидно, записать в виде одной формулы
х = ± arccos a + 2mπ , (4)
где m пробегает все целые числа (m = 0, ±1, ±2, ±3, ...).
Те рассуждения, которые мы проводили при выводе этой формулы, верны лишь при
| a
| =/= 1. Однако формально соотношение (4)
определяет все корни уравнения cos
x=a
и при |а
| =1. (Докажите это!) Поэтому можно сказать, что формула (4)
дает все корни уравнения (1) при любых значениях а
, если только |а
|
<
1
.
Но все же в трех частных случаях (а = 0, а = -1, а = +1) мы рекомендуем не обращаться к формуле (4) , а пользоваться другими соотношениями. Полезно запомнить, что корни уравнения cos х = 0 задаются формулой
х = π / 2 +nπ ; (5)
корни уравнения cos х = -1 задаются формулой
х = π + 2mπ ; (6)
и, наконец, корни уравнения cos х = 1 задаются формулой
х = 2mπ ; (7)
В заключение отметим, что формулы (4) , (5), (6) и (7) верны лишь в предположении, что искомый угол х выражен в радианах. Если же он выражен в градусах, то эти формулы нужно естественным образом изменить. Так, формулу (4) следует заменить формулой
х = ± arccos a + 360° n,
формулу (5) формулой
х = 90° + 180° n и т. д.
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a
Уравнение cos (x) = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравнения cosx = а. При | a | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | cosx | < 1 для любого x (прямая y = а при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Пусть | а | < 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
у = cos х. На промежутке функция y = cos x убы-вает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение cos x = а имеет на этом промежутке только один корень, который по опреде-лению арккосинуса равен: x 1 = arccos а (и для этого корня cos x = а).
Косинус — четная функция, поэтому на промежутке [-п; 0] уравнение cos x = а также имеет только один корень — число, противоположное x 1 , то есть
x 2 = -arccos а.
Таким образом, на промежутке [-п; п] (длиной 2п) уравнение cos x = а при | а | < 1 имеет только корни x = ±arccos а.
Функция y = cos x периодическая с периодом 2п, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2пп (n € Z). Получаем следующую фор-мулу корней уравнения cos x = а при
x = ±arccos а + 2пп, n £ Z.
- Частные случаи решения уравнения cosx = а.
Полезно помнить специальные записи корней уравнения cos x = а при
а = 0, а = -1, а = 1, которые можно легко получить, используя как ори-ентир единичную окружность.
Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, получаем, что cos x = 0 тогда и только тогда, когда соответ-ствующей точкой единичной окружности является точка A или точка B.
Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C, следовательно,
x = 2πп, k € Z.
Также cos х = —1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, таким образом, х = п + 2пn,
Уравнение sin (x) = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравнения sinx = а. При | а | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | sinx | < 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функции y = sinx).